Clase #16
Contenido:
- Dominio
- Rango
- Imagen
- Gráfica
Objetivo:
En este tema se estudiará la diferencia entre una relación y una función, para poder estudiar las propiedades de las funciones y poder comprender la importancia de una función en el manejo del Cálculo Diferencial.
EVIDENCIA DE PROCEDIMIENTO:
1. Entender los elementos de una función para encontrar
facilmente el conjunto A (variable independiente) y el conjunto B
(variable dependiente), para encontrar el Dominio y Rango de cualquier
función.
Una función numérica real de una variable real, o más brevemente, función es la
colección de los siguientes elementos:
a. Un nombre para la función. Normalmente se utilizan las letras f , g ,h, etc., pero, no es sacrosanto el restringirse a su uso.
b. Un conjunto de entradas, llamado el dominio o campo de valores de la función. Si el nombre de la función es f , se
denotará su dominio por Dominio(f). Se tendrá que Dominio (f) subconjunto de los R.
c. Un nombre para la entrada típica. Mayormente se utilizará la letra x, a la que a veces se le llama variable
muda o independiente.
d. Una regla o fórmula, que asigna a cada entrada, una salida única. Si x es una entrada típica y f es el nombre de la
función, la salida de x se denotará por f (x) y la asignación de x a su salida se denotará por
La salida f (x) también se llamará la imagen de x bajo f , omás brevemente, imagen de x.
e. El conjunto de todas las imágenes posibles de la función, llamado el rango de la función y denotado por Rango (f). Se utiliza la notación.
para indicar que f es una función con dominio Dominio (f) y rango Rango (f) . Finalmente, la gráfica de una
función f es el conjunto del plano
Dada una fórmula, es a veces difícil determinar a priori su conjunto de imágenes. Es por eso que se necesita que el
conjunto Rango (f) se tan grande como fuere posible. En la práctica, como sólo se habrán de considerar
funciones con salidas reales, convendrá poner Rango (f) = R.
2. Encontrar el Dominio y Rango de la siguiente función. Sea:
una función. Entonces Dominio (f) = {−1,0,1,2}, Rango (f) = {−1,0,1,2,4,5}. Para hallar la imagen de f se nota
que f ({−1,0,1,2}) = { f (−1), f (0), f (1), f (2))} = {0,1,4}
y por tanto Imagen (f) = {0,1,4}. La gráfica de f aparece en la figura abajo es el conjunto de tres puntos en el plano {(0,0),
(1,1), (2,4)}
Se debe hacer hincapié en que en la definición de
función, a todo elemento del dominio le corresponde
exactamente un elemento del rango. Gráficamente esto quiere decir que
toda recta vertical cortando la gráfica de la función
lo hace en exactamente un punto.
Los diagramas en las figuras siguientes no representan funciones. El primer diagrama porque no todas las entradas tienen una salida y el segundo, porque existe una entrada con más de una salida.
Tampoco lo es la gráfica de la curva y2 = x3 +1 representada en la figura de abajo, ya que hay varias rectas verticales que cortan a la curva en más de dos puntos.
EVIDENCIA DE DESARROLLO.
TAREA 2. Obtener la imagen, la gráfica y la representación geométrica de cada una de las siguientes fuciones:
